Differentiëren: alle regels op één pagina

H2 – De afgeleide functie

Machtsregel

\displaystyle f(x) = ax^n

\displaystyle f'(x) = n \cdot a \, x^{n-1}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = 3x^4$
Antwoord: $f'(x) = 12x^3$
$f(x) = 7$
Antwoord: $f'(x) = 0$

Lees de hele uitleg

Somregel

\displaystyle f(x) = g(x) + h(x)

\displaystyle f'(x) = g'(x) + h'(x)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^3 + 5x^2$
Antwoord: $f'(x) = 3x^2 + 10x$
$f(x) = 4x^2 - 6x$
Antwoord: $f'(x) = 8x - 6$

Lees de hele uitleg

De productregel

\displaystyle f(x) = g(x) \cdot h(x)

\displaystyle f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = (x^2-4)(x^3+2x)$
Antwoord: $f'(x) = 2x(x^3+2x) + (x^2-4)(3x^2+2)$
$f(x) = (2x+1)(x-3)$
Antwoord: $f'(x) = 4x - 5$

Lees de hele uitleg

De quotiëntregel

\displaystyle f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

\displaystyle f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = \dfrac{x-2}{x+5}$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{7}{(x+5)^2}$
$f(x) = \dfrac{2x}{x+1}$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{2}{(x+1)^2}$

Lees de hele uitleg

H6 – Differentiaalrekening

Probeer 3 sommen Gratis account

Machtsfuncties herschrijven

\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} \implies f'(x) = -nx^{-n-1}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$
Antwoord: $f'(x) = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$
$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$
Antwoord: $f'(x) = \tfrac{1}{n}x^{\tfrac{1}{n}-1}$

De kettingregel

\displaystyle f(x) = g\bigl(h(x)\bigr)

\displaystyle f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr) \cdot h'(x)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = (4x+3)^3$
Antwoord: $f'(x) = 12(4x+3)^2$
$f(x) = (x^2+1)^3$
Antwoord: $f'(x) = 6x(x^2+1)^2$
$f(x) = \sqrt{3x+1}$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

Lees de hele uitleg

H7 – Goniometrische functies

Probeer 3 sommen Gratis account

Basisformules goniometrie

\displaystyle f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x)

\displaystyle f(x) = \cos(x) \implies f'(x) = -\sin(x)

\displaystyle f(x) = \tan(x) \implies f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = 3\sin(x) - 2\cos(x)$
Antwoord: $f'(x) = 3\cos(x) + 2\sin(x)$
$f(x) = \sin(x) + 4\cos(x)$
Antwoord: $f'(x) = \cos(x) - 4\sin(x)$

Kettingregel met goniometrie

\displaystyle f(x) = \cos\bigl(h(x)\bigr) \implies f'(x) = -h'(x) \cdot \sin\bigl(h(x)\bigr)

\displaystyle f(x) = \sin\bigl(h(x)\bigr) \implies f'(x) = h'(x) \cdot \cos\bigl(h(x)\bigr)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = \sin(3x^2)$
Antwoord: $f'(x) = 6x\cos(3x^2)$
$f(x) = \cos(2x)$
Antwoord: $f'(x) = -2\sin(2x)$

H9 – Exponentiële en logaritmische functies

Probeer 3 sommen Gratis account

E-machten

\displaystyle f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x

\displaystyle f(x) = a^x \implies f'(x) = a^x \cdot \ln(a)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = e^{h(x)}$
Antwoord: $f'(x) = h'(x) \cdot e^{h(x)}$
$f(x) = e^{2x+3}$
Antwoord: $f'(x) = 2e^{2x+3}$
$f(x) = 3^x$
Antwoord: $f'(x) = 3^x \cdot \ln(3)$

Logaritmes

\displaystyle f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \dfrac{1}{x}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = \ln(h(x))$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{h'(x)}{h(x)}$
$f(x) = {}^2\!\log(5x)$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{1}{x\ln(2)}$
$f(x) = \ln(x^2+1)$
Antwoord: $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$

Beweging

Probeer 3 sommen Gratis account

\displaystyle x'(t),\ y'(t)

\displaystyle \text{snelheid} = \sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}

Voorbeeldopgaven

$x(t) = 8t,\ y(t) = 15t$
Antwoord: $\text{snelheid } 17$
$x(t) = 3t,\ y(t) = 4t$
Antwoord: $\text{snelheid } 5$

\displaystyle x''(t),\ y''(t)

\displaystyle \text{grootte} = \sqrt{\left(x''(t)\right)^2 + \left(y''(t)\right)^2}

Voorbeeldopgaven

$x(t) = t^2,\ y(t) = 3t$
Antwoord: $\text{grootte versnelling } 2$
$x(t) = t^3,\ y(t) = t^2$
Antwoord: $2\sqrt{9t^2 + 1}$

\displaystyle x'(t)\,x''(t) + y'(t)\,y''(t) = 0

Voorbeeldopgaven

$x(t) = t,\ y(t) = t^3 - 3t,\ t \geq 0$
Antwoord: $\text{kleinste snelheid } 1 \text{ op } t = 1$
$x(t) = 2t,\ y(t) = t^2,\ t \geq 0$
Antwoord: $\text{kleinste snelheid } 2 \text{ op } t = 0$

\displaystyle x(t) = R\cos(\omega t),\ y(t) = R\sin(\omega t)

\displaystyle \text{snelheid} = R|\omega|

\displaystyle \text{versnelling} = R\omega^2

Voorbeeldopgaven

$x(t) = 9\cos(2t),\ y(t) = 9\sin(2t)$
Antwoord: $\text{snelheid } 18,\ \text{versnelling } 36$
$x(t) = 5\cos(t),\ y(t) = 5\sin(t)$
Antwoord: $\text{snelheid } 5,\ \text{versnelling } 5$

Grootste snelheid van een trilling

\displaystyle f(t) = A\sin(\omega t)

\displaystyle f'(t) = A\omega\cos(\omega t)

\displaystyle \text{grootste snelheid} = |A\omega|

Voorbeeldopgaven

$f(t) = 5\sin(2t)$
Antwoord: $\text{grootste snelheid } 10$
$f(t) = 3\sin(4t)$
Antwoord: $\text{grootste snelheid } 12$

\displaystyle f(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)

\displaystyle R = \sqrt{A^2 + B^2}

\displaystyle \text{grootste snelheid} = R|\omega|

Voorbeeldopgaven

$f(t) = 12\cos(t) + 16\sin(t)$
Antwoord: $\text{grootste snelheid } 20$
$f(t) = 3\cos(2t) + 4\sin(2t)$
Antwoord: $\text{grootste snelheid } 10$

H15 – Hellingen, raaklijnen en optimaliseren

Probeer 3 sommen Gratis account

De raaklijn

\displaystyle \text{helling in } x = a \text{ is } f'(a)

\displaystyle y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^2 \text{ in } x = 3$
Antwoord: $y = 6x - 9$
$f(x) = x^3 \text{ in } x = 1$
Antwoord: $y = 3x - 2$

Lees de hele uitleg

Eerste afgeleide	Tweede afgeleide	De grafiek is
$f'(x) > 0$	$f''(x) > 0$	toenemend stijgend
$f'(x) > 0$	$f''(x) < 0$	afnemend stijgend
$f'(x) < 0$	$f''(x) < 0$	toenemend dalend
$f'(x) < 0$	$f''(x) > 0$	afnemend dalend

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^3 \text{ in } x = 1$
Antwoord: $\text{toenemend stijgend}$
$f(x) = -x^2 \text{ in } x = 1$
Antwoord: $\text{toenemend dalend}$

\displaystyle f''(x) = 0 \text{ en } f'' \text{ wisselt van teken}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^3 - 3x^2 + x$
Antwoord: $\text{buigpunt bij } x = 1$
$f(x) = x^3$
Antwoord: $\text{buigpunt bij } x = 0$

Top met de tweede afgeleide

\displaystyle f'(x) = 0

\displaystyle f''(x) < 0 \implies \text{maximum}

\displaystyle f''(x) > 0 \implies \text{minimum}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^3 - 3x$
Antwoord: $\text{maximum bij } x = -1,\ \text{minimum bij } x = 1$
$f(x) = x^2 + 2$
Antwoord: $\text{minimum bij } x = 0$

Lees de hele uitleg

\displaystyle OA^{2} = x_A^{2} + y_A^{2}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = 4 - x^2$
Antwoord: $OA = 4$
$f(x) = x^2 - 1$
Antwoord: $OA = 1$

\displaystyle \tan(\alpha) = f'(x)

\displaystyle \tan(\beta) = g'(x)

\displaystyle |\alpha - \beta|

\displaystyle \text{groter dan } 90^{\circ}?\ \text{dan } 180^{\circ} - |\alpha - \beta|

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^2 \text{ en } y = 1 \text{ in } (1, 1)$
Antwoord: $63{,}4^{\circ}$
$f(x) = x \text{ en } y = 0 \text{ in } (0, 0)$
Antwoord: $45^{\circ}$

\displaystyle f(x) = g(x)

\displaystyle f'(x) = g'(x)

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^2 \text{ en } g(x) = 2x - 1$
Antwoord: $\text{raakpunt } (1, 1)$
$f(x) = x^2 + 1 \text{ en } g(x) = 2x$
Antwoord: $\text{raakpunt } (1, 2)$

\displaystyle f(x) = g(x)

\displaystyle f'(x) \cdot g'(x) = -1

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x^2 \text{ en } g(x) = -x + \dfrac{3}{4}$
Antwoord: $\text{loodrecht in } \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$
$f(x) = x \text{ en } g(x) = -x + 2$
Antwoord: $\text{loodrecht in } (1, 1)$

\displaystyle f'(x) = 0

\displaystyle f''(x) < 0 \implies \text{grootste waarde}

\displaystyle f''(x) > 0 \implies \text{kleinste waarde}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = 10x - x^2 \text{ met } 0 < x < 10$
Antwoord: $\text{grootst } 25 \text{ bij } x = 5$
$f(x) = x^2 - 4x + 7$
Antwoord: $\text{kleinst } 3 \text{ bij } x = 2$

\displaystyle h(x) = g(x) - f(x)

Voorbeeldopgaven

$g(x) = 4 - x^2 \text{ boven } f(x) = x$
Antwoord: $\text{grootste afstand } \dfrac{17}{4} \text{ bij } x = -\dfrac{1}{2}$
$g(x) = x + 5 \text{ boven } f(x) = x^2$
Antwoord: $\text{grootste afstand } \dfrac{21}{4} \text{ bij } x = \dfrac{1}{2}$

\displaystyle f(x) = ax + \dfrac{b}{x} \text{ met } x > 0

\displaystyle f'(x) = a - \dfrac{b}{x^2}

\displaystyle x = \sqrt{\dfrac{b}{a}}

Voorbeeldopgaven

$f(x) = x + \dfrac{4}{x} \text{ met } x > 0$
Antwoord: $\text{kleinst } 4 \text{ bij } x = 2$
$f(x) = 2x + \dfrac{8}{x} \text{ met } x > 0$
Antwoord: $\text{kleinst } 8 \text{ bij } x = 2$

Eerste afgeleide

Tweede afgeleide

De grafiek is

f'(x) > 0

f''(x) > 0

toenemend stijgend

f'(x) > 0

f''(x) < 0

afnemend stijgend

f'(x) < 0

f''(x) < 0

toenemend dalend

f'(x) < 0

f''(x) > 0

afnemend dalend

Differentiëren: alle regels op één pagina

H2 – De afgeleide functie

Machtsregel

Somregel

De productregel

De quotiëntregel

H6 – Differentiaalrekening

Machtsfuncties herschrijven

De kettingregel

H7 – Goniometrische functies

Basisformules goniometrie

Kettingregel met goniometrie

H9 – Exponentiële en logaritmische functies

E-machten

Logaritmes

Beweging

Snelheid in het vlak

Versnelling in het vlak

Kleinste snelheid

Eenparige cirkelbeweging

Grootste snelheid van een trilling

Som van sinus en cosinus

H15 – Hellingen, raaklijnen en optimaliseren

De raaklijn

Soorten stijgen en dalen

Buigpunt

Top met de tweede afgeleide

Afstand van een top tot O

Hoek tussen twee grafieken

Grafieken die elkaar raken

Loodrecht snijdende grafieken

Grootste of kleinste waarde

Afstand tussen twee grafieken

Kosten van de vorm ax + b/x

Differentiëren: alle regels op één pagina

H2 – De afgeleide functie

Machtsregel

Somregel

De productregel

De quotiëntregel

H6 – Differentiaalrekening

Machtsfuncties herschrijven

De kettingregel

H7 – Goniometrische functies

Basisformules goniometrie

Kettingregel met goniometrie

H9 – Exponentiële en logaritmische functies

E-machten

Logaritmes

Beweging

Snelheid in het vlak

Versnelling in het vlak

Kleinste snelheid

Eenparige cirkelbeweging

Grootste snelheid van een trilling

Som van sinus en cosinus

H15 – Hellingen, raaklijnen en optimaliseren

De raaklijn

Soorten stijgen en dalen

Buigpunt

Top met de tweede afgeleide

Afstand van een top tot O

Hoek tussen twee grafieken

Grafieken die elkaar raken

Loodrecht snijdende grafieken

Grootste of kleinste waarde

Afstand tussen twee grafieken

Kosten van de vorm ax + b/x