Kettingregel oefenen

Stappenplan

0. 0Kijk naar de buitenste schil. Zit er een functie in een functie, bijvoorbeeld een macht om haakjes of een wortel om iets met $x$? Dan is het de kettingregel.
1. 1Noem de hele functie $f$, de buitenste functie $g$ en de binnenste $h$. Schrijf $f(x) = g\bigl(h(x)\bigr)$.
2. 2Bereken $g'\bigl(h(x)\bigr)$ en $h'(x)$. In de afgeleide van de buitenkant laat je $h(x)$ staan.
3. 3Vermenigvuldig: $f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr) \cdot h'(x)$. Werk dat uit tot een net antwoord.

Drie voorbeelden

• $\displaystyle f(x) = (2x-5)^4$

  1. Stap 0. De buitenste schil is een vierde macht. Daarin staat $2x-5$. Dat is de kettingregel.
  2. Stap 1. $h(x) = 2x-5$ en $g$ is tot de macht $4$, dus $f(x) = \bigl(h(x)\bigr)^4$.
  3. Stap 2. $g'\bigl(h(x)\bigr) = 4(2x-5)^3$ en $h'(x) = 2$.
  4. Stap 3. $f'(x) = 4(2x-5)^3 \cdot 2 = 8(2x-5)^3$.

  Antwoord: $\displaystyle f'(x) = 8(2x-5)^3$

• $\displaystyle f(x) = (x^2-3x)^5$

  1. Stap 0. De buitenste schil is een vijfde macht. Daarin staat $x^2-3x$. Dat is de kettingregel.
  2. Stap 1. $h(x) = x^2-3x$ en $g$ is tot de macht $5$.
  3. Stap 2. $g'\bigl(h(x)\bigr) = 5(x^2-3x)^4$ en $h'(x) = 2x-3$.
  4. Stap 3. $f'(x) = 5(x^2-3x)^4 \cdot (2x-3)$.

  Antwoord: $\displaystyle f'(x) = 5(x^2-3x)^4(2x-3)$

• $\displaystyle f(x) = \sqrt{5x-2}$

  1. Stap 0. De buitenste schil is een wortel. Daarin staat $5x-2$. Dat is de kettingregel. De wortel bestaat als $5x-2 \ge 0$, de afgeleide als $5x-2 > 0$.
  2. Stap 1. Schrijf de wortel als macht: $f(x) = (5x-2)^{1/2}$. Dus $h(x) = 5x-2$ en $g$ is tot de macht $\tfrac{1}{2}$.
  3. Stap 2. $g'\bigl(h(x)\bigr) = \tfrac{1}{2}(5x-2)^{-1/2}$ en $h'(x) = 5$.
  4. Stap 3. $f'(x) = \tfrac{1}{2}(5x-2)^{-1/2} \cdot 5 = \dfrac{5}{2\sqrt{5x-2}}$.

  Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x-2}}$