Extreme waarden oefenen

Stappenplan

0. 0Een extreme waarde is een top van de grafiek: een grootste of een kleinste waarde in de buurt. In zo'n top is de helling nul.
1. 1Bereken de afgeleide $f'(x)$.
2. 2Stel $f'(x) = 0$ en los $x$ op. Alleen een oplossing die bij de functie hoort telt mee.
3. 3Kijk naar $f''(x)$ in dat punt. Is die negatief, dan is het een maximum. Is die positief, dan is het een minimum. Reken $f$ daar uit: dat getal is de extreme waarde. Je mag ook naar het teken van $f'$ kijken: plus daarna min is een maximum, min daarna plus een minimum.

Drie voorbeelden

• $\displaystyle f(x) = x^2 - 6x + 5$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarde van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f'(x) = 2x - 6$.
  3. Stap 2. $2x - 6 = 0$ geeft $x = 3$.
  4. Stap 3. $f''(x) = 2 > 0$, dus een minimum. $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.

  Antwoord: $\displaystyle \text{minimum } -4 \text{ bij } x = 3$

• $\displaystyle f(x) = -x^2 + 4x + 1$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarde van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f'(x) = -2x + 4$.
  3. Stap 2. $-2x + 4 = 0$ geeft $x = 2$.
  4. Stap 3. $f''(x) = -2 < 0$, dus een maximum. $f(2) = -4 + 8 + 1 = 5$.

  Antwoord: $\displaystyle \text{maximum } 5 \text{ bij } x = 2$

• $\displaystyle f(x) = x^3 - 12x$

  1. Stap 0. Je zoekt de extreme waarden van $f$. In een top is de helling nul.
  2. Stap 1. $f'(x) = 3x^2 - 12$.
  3. Stap 2. $3x^2 - 12 = 0$ geeft $x^2 = 4$, dus $x = -2$ of $x = 2$.
  4. Stap 3. $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$, dus een maximum: $f(-2) = -8 + 24 = 16$. $f''(2) = 12 > 0$, dus een minimum: $f(2) = 8 - 24 = -16$.

  Antwoord: $\displaystyle \text{maximum } 16 \text{ bij } x = -2,\ \text{minimum } -16 \text{ bij } x = 2$