Theorie

Quotiëntregel oefenen

Je gebruikt de quotiëntregel (zonder trema: quotientregel) als de ene functie door de andere gedeeld wordt. In de teller van de afgeleide staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van de noemer.

$f$ is de functie die je differentieert. $g$ is de teller, $h$ de noemer. Die volgorde ligt vast.

\displaystyle f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

\displaystyle f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}

Stappenplan

0Kijk of de ene functie door de andere gedeeld wordt. Staat er een breukstreep, met $x$ in de teller en in de noemer? Dan is het de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn.
1Noem de hele functie $f$ , de teller $g$ en de noemer $h$ . Schrijf $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ . De teller is altijd $g$ , de noemer altijd $h$ .
2Bereken $g'(x)$ en $h'(x)$ . Elke kant apart, met de machtsregel of de somregel.
3Zet ze in de formule: $f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}$ . In de teller staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van $h$ . Werk dat uit tot een net antwoord.

Drie voorbeelden

$\displaystyle f(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $3x+1$ , noemer $x-2$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq 2$ .
2. Stap 1. $g(x) = 3x+1$ en $h(x) = x-2$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 3$ en $h'(x) = 1$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{3x-6-3x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$
$\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2+4}{2x+1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x^2+4$ , noemer $2x+1$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq -\tfrac{1}{2}$ .
2. Stap 1. $g(x) = x^2+4$ en $h(x) = 2x+1$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 2x$ en $h'(x) = 2$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{2x(2x+1) - (x^2+4) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2-8}{(2x+1)^2} = \dfrac{2(x^2+x-4)}{(2x+1)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{2(x^2+x-4)}{(2x+1)^2}$
$\displaystyle f(x) = \dfrac{x+5}{x^2+1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x+5$ , noemer $x^2+1$ . Dat is de quotiëntregel. $x^2+1$ is altijd minstens $1$ , dus de noemer is nooit nul.
2. Stap 1. $g(x) = x+5$ en $h(x) = x^2+1$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 1$ en $h'(x) = 2x$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - (x+5) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{x^2+1-2x^2-10x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-10x-x^2}{(x^2+1)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{1-10x-x^2}{(x^2+1)^2}$

Oefen dit onderwerp

Zelf oefenen Bekijk de video: De quotiëntregel Alle differentieerregels

Quotiëntregel oefenen

f

is de functie die je differentieert.

g

is de teller,

h

de noemer. Die volgorde ligt vast.

\displaystyle f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

\displaystyle f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}

Stappenplan

0Kijk of de ene functie door de andere gedeeld wordt. Staat er een breukstreep, met $x$ in de teller en in de noemer? Dan is het de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn.
1Noem de hele functie $f$ , de teller $g$ en de noemer $h$ . Schrijf $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ . De teller is altijd $g$ , de noemer altijd $h$ .
2Bereken $g'(x)$ en $h'(x)$ . Elke kant apart, met de machtsregel of de somregel.
3Zet ze in de formule: $f'(x) = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}$ . In de teller staat een min. De noemer laat je staan als het kwadraat van $h$ . Werk dat uit tot een net antwoord.

Drie voorbeelden

$\displaystyle f(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $3x+1$ , noemer $x-2$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq 2$ .
2. Stap 1. $g(x) = 3x+1$ en $h(x) = x-2$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 3$ en $h'(x) = 1$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{3x-6-3x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$
$\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2+4}{2x+1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x^2+4$ , noemer $2x+1$ . Dat is de quotiëntregel. De noemer mag niet nul zijn, dus $x \neq -\tfrac{1}{2}$ .
2. Stap 1. $g(x) = x^2+4$ en $h(x) = 2x+1$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 2x$ en $h'(x) = 2$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{2x(2x+1) - (x^2+4) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2-8}{(2x+1)^2} = \dfrac{2(x^2+x-4)}{(2x+1)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{2(x^2+x-4)}{(2x+1)^2}$
$\displaystyle f(x) = \dfrac{x+5}{x^2+1}$
1. Stap 0. Er staat een breuk: teller $x+5$ , noemer $x^2+1$ . Dat is de quotiëntregel. $x^2+1$ is altijd minstens $1$ , dus de noemer is nooit nul.
2. Stap 1. $g(x) = x+5$ en $h(x) = x^2+1$ .
3. Stap 2. $g'(x) = 1$ en $h'(x) = 2x$ .
4. Stap 3. $f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - (x+5) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{x^2+1-2x^2-10x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-10x-x^2}{(x^2+1)^2}$ .
Antwoord: $\displaystyle f'(x) = \dfrac{1-10x-x^2}{(x^2+1)^2}$